最終更新日：2026年8月29日
fe fe-management project-management mathematics combination
まず結論
n人のメンバーが互いに1回ずつ1対1で連絡するとき、コミュニケーション経路数は次の式で求めます。
[ {}_nC_2 = \frac{n(n-1)}{2} ]
試験では、次の判断ができれば十分です。
1対1のペアを数える
→ 順番を区別しない
→ 組合せ nC2 を使う
人数が変わったときの増加分は、原則として次のように求めます。
変更後の経路数 − 変更前の経路数
直感的な説明
メンバーを点、1対1の連絡を点同士を結ぶ線として考えます。
3人なら、線は3本です。
A―B
A―C
B―C
4人なら、線は6本です。
A―B
A―C
A―D
B―C
B―D
C―D
この線の本数が、コミュニケーション経路数です。
| 人数 | 経路数 |
|---|---|
| 2人 | 1 |
| 3人 | 3 |
| 4人 | 6 |
| 5人 | 10 |
| 10人 | 45 |
| 12人 | 66 |
人数が増えると、新しいメンバーと既存メンバーとの経路だけでなく、新しいメンバー同士の経路も増えます。
そのため、経路数は人数に単純比例しません。
定義・仕組み
なぜ組合せを使うのか
AさんとBさんの連絡と、BさんとAさんの連絡は、同じ1本の経路として数えます。
A―B
=
B―A
順番を区別しないため、順列ではなく組合せを使います。
| 考え方 | 順番を区別するか | 例 |
|---|---|---|
| 順列 | 区別する | 会長と副会長を選ぶ |
| 組合せ | 区別しない | 2人の連絡相手を選ぶ |
なぜ2で割るのか
n人のそれぞれが、自分以外のn−1人と連絡すると考えると、
[ n(n-1) ]
となります。
ただし、この数え方では各ペアを2回ずつ数えています。
Aから見たB
Bから見たA
そこで、2で割ります。
[ \frac{n(n-1)}{2} ]
増員時の一般的な考え方
n人のチームにm人を追加するとき、増える経路数は次の二つに分けられます。
新メンバーと既存メンバー
＋
新メンバー同士
式にすると、
[ nm + {}_mC_2 ]
です。
例えば、10人のチームへ2人を追加する場合は、
[ 10 \times 2 + {}_2C_2 = 20 + 1 = 21 ]
となります。
同じ結果は、変更後と変更前の差でも求められます。
[ {}{12}C_2 - {}{10}C_2 = 66 - 45 = 21 ]
科目Aでどう出る？
科目Aでは、次のような形で問われます。
- n人のチームのコミュニケーション経路数
- 増員後に何経路増えるか
- 1対1の組合せ数
- 順列と組合せの切り分け
解く順番は次のとおりです。
1. 1対1か確認する
2. 順番を区別するか確認する
3. nC2 = n(n−1)÷2 を使う
4. 増加分なら変更後−変更前を計算する
増員人数が少ない場合は、増えた経路だけを数える方が速いことがあります。
既存10人に2人追加
→ 10×2
→ 新しい2人同士を1本追加
→ 合計21
どんな場面で使う？
プロジェクト管理では、チーム人数が増えると情報共有や調整の組合せも増えます。
5人
→ 10経路
10人
→ 45経路
20人
→ 190経路
そのため、単純に人員を増やしても、調整負荷が増えて作業効率が上がらない場合があります。
この式は、次のような場面にも使えます。
- 全員が互いに1回ずつ面談する
- 全チーム間で1回ずつ対戦する
- 全機器間を1対1で接続する
- 2人1組の候補数を数える
よくある誤解・混同
順列を使う
1対1の経路では、A―BとB―Aを別々に数えません。
役割や順番が違う
→ 順列
同じ2人のペア
→ 組合せ
n(n−1)のまま答える
この式では、同じペアを2回数えています。
必ず2で割ります。
増員人数だけを掛けて終える
既存メンバーとの経路だけでなく、新メンバー同士の経路も増えます。
既存n人に2人追加
→ n×2 + 1
増員後の総数を答える
「何経路増えるか」と聞かれた場合は、総数ではなく差を求めます。
変更後 − 変更前
人数に比例して増えると思う
経路数は (n(n-1)/2) で増えるため、人数に単純比例しません。
まとめ（試験直前用）
- 1対1の経路数は、n人から2人を選ぶ組合せ
- 式は (nC2 = n(n-1)÷2)
- A―BとB―Aは同じなので2で割る
- 増加分は「変更後−変更前」で求める
- n人にm人追加した増加分は (nm + mC2)
一言で覚えるなら、
1対1のペアを数える問題は、順番を区別しないので組合せ。