最終更新日：2026年8月3日

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まず結論

集合演算の問題は、記号を次の日本語へ置き換えると整理しやすくなります。

集合演算 読み方
A ∪ B AまたはB
A ∩ B AかつB
Ā Aではない
A − B Aであり、Bではない
A ⊆ B AのすべてがBに含まれる

試験で特に重要なのは、次の3つです。

A − B = A ∩ B̄

(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄

(A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄

等しい集合を探す問題では、左右の塗られる範囲が同じかを確認します。

部分集合の問題では、左辺の範囲が右辺からはみ出していないかを確認します。

直感的な説明

ベン図は、条件に当てはまるものを円の内側へ分けた図です。

例えば、次の2集合を考えます。

A：Pythonを使う人
B：データ分析をする人

AとBの両方に入る人は、円が重なる部分です。

Aにも入る
かつ
Bにも入る
→ A ∩ B

AまたはBの少なくとも一方に入る人は、二つの円を合わせた範囲です。

Aに入る
または
Bに入る
→ A ∪ B

Aには入るがBには入らない人は、Aの円から重なり部分を除いた範囲です。

Aに入る
かつ
Bには入らない
→ A − B
→ A ∩ B̄

部分集合は、片方の範囲がもう片方の範囲へ完全に収まっている関係です。

A ⊆ B
→ Aに入るものは、すべてBにも入る

定義・仕組み

和集合

和集合は、AまたはBの少なくとも一方に属する要素の集合です。

A ∪ B
= AまたはBに入る

論理演算ではORに近い考え方です。

積集合

積集合は、AとBの両方に属する要素の集合です。

A ∩ B
= AとBの両方に入る

論理演算ではANDに近い考え方です。

補集合

補集合は、全体集合のうち対象の集合に属さない部分です。

Ā
= Aに入らない

補集合を考えるときは、円の外側だけでなく、全体集合Sの範囲を意識します。

差集合

差集合は、左側の集合から右側の集合を除いた部分です。

A − B
= Aに入り、Bには入らない

補集合と積集合を使うと、次のように書けます。

A − B = A ∩ B̄

同じ考え方で、

Ā − B = Ā ∩ B̄

です。

差集合では、左右を逆にすると範囲が変わります。

A − B ≠ B − A

部分集合

A ⊆ B

は、Aのすべての要素がBにも含まれることを表します。

AとBが等しい場合も A ⊆ B は成立します。

したがって、⊆ は「必ず小さい」という意味ではありません。

基本関係として、次を覚えておくと便利です。

A ∩ B ⊆ A

A ⊆ A ∪ B

この2つを組み合わせれば、例えば次の関係を判断できます。

A ∩ B ⊆ A ∪ B̄

左辺 A ∩ B はAの一部であり、右辺 A ∪ B̄ はA全体を含むため、常に成立します。

交換法則

和集合と積集合は、集合の並び順を入れ替えても結果が変わりません。

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

分配法則

集合演算には、次の2つの分配法則があります。

A ∪ (B ∩ C)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

共通する集合をくくる形でも使えます。

(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
= (A ∪ B) ∩ C

ド・モルガンの法則

補集合が式全体に掛かるときは、ド・モルガンの法則が使えます。

(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄

(A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄

覚え方は、補集合を中へ入れると、∪ と ∩ が入れ替わるです。

例えば、

Ā ∩ B̄

は、ド・モルガンの法則を使うと、

(A ∪ B)̄

となります。

全体集合をSとすれば、

(A ∪ B)̄ = S − (A ∪ B)

とも表せます。

このテーマは、基本情報技術者試験の「基礎理論」と関係する内容です。公式の出題範囲やシラバスは、IPA：基本情報技術者試験から確認できます。

科目Aでどう出る？

科目Aでは、次のような形で出題されます。

  • 網掛け部分に対応する集合式を選ぶ
  • 左辺と右辺が等しい式を選ぶ
  • 左辺が右辺に含まれる式を選ぶ
  • 差集合を補集合と積集合へ変換する
  • ド・モルガンの法則を使う
  • 複雑な集合式を簡単化する

等しい集合を探す手順

1. 差集合を積集合へ直す
2. 補集合があるならド・モルガンを確認する
3. ∪を「または」、∩を「かつ」と読む
4. 左右のベン図の範囲が同じか確認する

例えば、

Ā − B

は、差集合の公式から、

Ā − B
= Ā ∩ B̄

です。

この変形ができれば、ベン図を一から描かなくても判断できます。

部分集合を判断する手順

1. 左辺がどの集合の一部かを見る
2. 右辺が何を丸ごと含むかを見る
3. 左辺が右辺からはみ出さないか確認する

例えば、

A ∩ B ⊆ A ∪ B̄

では、

A ∩ B ⊆ A

かつ、

A ⊆ A ∪ B̄

なので、常に成立します。

ベン図で確認する

法則が思い出せない場合は、ベン図で左右を比較します。

等式なら、左右の塗られる範囲が完全に一致するかを見ます。

部分集合なら、左辺の塗られる範囲が右辺の中へ完全に収まるかを見ます。

等しい
→ 左右の範囲が一致

部分集合
→ 左辺が右辺からはみ出さない

網掛け部分を式にする

網掛けを式へ変換する問題では、次の手順で考えます。

1. 網掛けが何か所あるか確認する
2. 各領域についてA・Bへの所属を確認する
3. 同じ領域の条件を∩で結ぶ
4. 離れた領域同士を∪で結ぶ

どんな場面で使う？

集合演算は、条件を組み合わせる場面で使います。

例えば、データベース検索では次のように対応します。

東京都在住 AND 20代
→ 共通する条件
→ 積集合

東京都在住 OR 大阪府在住
→ どちらかの条件
→ 和集合

会員 AND NOT 退会済み
→ 会員集合から退会済み集合を除く
→ 差集合

プログラムの条件式や論理回路でも、同じ考え方が使われます。

集合演算 論理演算
∩ AND
∪ OR
補集合 NOT
差集合 AND NOT

よくある誤解・混同

∪ と ∩ を逆にする

∪ = または
∩ = かつ

記号だけで覚えるより、日本語へ置き換える方が安全です。

差集合の左右を逆にする

A − B

は、Aを残してBを除く処理です。

A − B = A ∩ B̄

B − A とは異なります。

補集合を円の反対側だけだと思う

補集合は、全体集合Sのうち対象の集合以外のすべてです。

Ā = S − A

もう一方の集合Bとの位置関係だけで決まるものではありません。

ド・モルガンで記号を入れ替えない

誤り：

(A ∪ B)̄ = Ā ∪ B̄

正しくは、

(A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄

補集合を中へ入れると、∪ と ∩ が入れ替わります。

⊆ を等しいという意味だと考える

A ⊆ B

は、AとBが等しいとは限りません。

AがBより狭い場合も、AとBが同じ場合も成立します。

等式と部分集合を同じように判定する

等式では左右が完全に一致する必要があります。

部分集合では、左辺が右辺の中へ収まっていれば成立します。

X = Y
→ 左右が同じ

X ⊆ Y
→ XがYの中に収まる

まとめ（試験直前用）

  • ∪ は「または」、∩ は「かつ」
  • 補集合は「その集合に入らない」
  • A − B = A ∩ B̄
  • A ⊆ B は、AのすべてがBに含まれるという意味
  • A ∩ B ⊆ A、A ⊆ A ∪ B
  • (A ∪ B)̄ = Ā ∩ B̄
  • (A ∩ B)̄ = Ā ∪ B̄
  • 等式は左右が一致、部分集合は左辺が右辺からはみ出さない
  • 法則の形が見えない場合は、ベン図で範囲を確認する

集合式は、日本語へ置き換え、差集合と補集合を先に整理すると判断しやすい。

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