最終更新日：2026年8月26日
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まず結論
SVD（Singular Value Decomposition：特異値分解）とは、行列を3つの行列に分解し、特異値の大きい成分から重要な構造を取り出す手法です。
A = U Σ Vᵀ
G検定では、次の3点を押さえます。
| 判断対象 | SVDのポイント |
|---|---|
| 分解するもの | 正方行列に限らず、長方形の行列も扱える |
| 成分の重要度 | Σの対角成分である特異値で表す |
| 主な用途 | 次元削減、低ランク近似、ノイズ除去、推薦、潜在意味解析 |
「行列をU・Σ・Vᵀに分解する」「特異値の大きい成分を残す」ならSVDと判断します。
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直感的な説明
ユーザーと商品の評価を並べた、大きな表を考えます。
表の数値は多くても、背後にある傾向は、
- アクション映画を好む傾向
- 家族向け作品を好む傾向
- 人気商品を高く評価する傾向
のような少数のパターンで説明できるかもしれません。
SVDは、大きな表を少数の重要なパターンへ分ける方法です。重要度の低い成分を省けば、元の情報をなるべく残しながら、行列を小さく近似できます。
この考え方が、次元削減や画像圧縮、推薦システムにつながります。
定義・仕組み
SVDでは、元の行列Aを次の3つに分解します。
| 行列 | 役割のイメージ |
|---|---|
| U | 行側の特徴を表す左特異ベクトル |
| Σ | 各成分の重要度を表す特異値 |
| Vᵀ | 列側の特徴を表す右特異ベクトル |
特異値は0以上の値で、通常は大きい順に並べます。大きい特異値ほど、元の行列の主要な構造を多く表します。
打切りSVDと低ランク近似
すべての特異値を使わず、大きいものだけを残す方法を打切りSVD（Truncated SVD）と呼びます。
| 残す成分 | 結果 |
|---|---|
| 大きい特異値 | 主要なパターンを残しやすい |
| 小さい特異値を省く | ノイズや細かな変動を減らしやすい |
少数の成分で元の行列を近似することを、低ランク近似といいます。
PCAとの関係
PCAは、データの分散が大きい方向を主成分として見つける次元削減手法です。中心化したデータ行列にSVDを適用すると、右特異ベクトルから主成分方向を求められます。
PCAとSVDは関係が深いですが、同じものではありません。PCAは統計的な次元削減手法、SVDは一般的な行列分解で、SVD自体も打切りによって次元削減に利用できます。
いつ使う？（得意・不得意）
SVDは、行列に隠れた少数の主要パターンを取り出したいときに使います。
- 画像圧縮・ノイズ除去
- 推薦システムの行列分解
- 文書と単語の関係を扱う潜在意味解析（LSA）
- 次元削減
- PCAの計算
一方、SVDは線形な行列分解です。複雑な非線形構造の可視化が目的なら、t-SNEやUMAPなど別の手法を検討します。
G検定ひっかけポイント
- ❌「SVDとPCAは完全に同じ」→ PCAは次元削減手法、SVDは行列分解
- ❌「SVDは正方行列だけ」→ 長方形にも適用できる
- ❌「SVDはPCAの計算専用」→ 低ランク近似など広い用途がある
- ⭕「U・Σ・Vᵀ」→ SVD
- ⭕「特異値の大きい成分を残す」→ 打切りSVD
- ⭕「分散最大化・主成分」→ PCA
まとめ（試験直前用）
- SVD＝U・Σ・Vᵀへの行列分解
- 特異値＝成分の重要度
- 長方形行列にも使える
- 打切りSVDは低ランク近似・次元削減に使える
- PCAの計算にSVDを使えるが、PCAとSVDは同義ではない