最終更新日：2026年7月14日

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G検定トップ ＞ SVD（特異値分解）とは？PCA・固有値分解との違い【G検定】

まず結論

SVD（Singular Value Decomposition：特異値分解）とは、行列を3つの行列に分解し、特異値の大きい成分から重要な構造を取り出す手法です。

A = U Σ Vᵀ

G検定では、次の3点を押さえます。

判断対象 SVDのポイント
分解するもの 正方行列に限らず、長方形の行列も扱える
成分の重要度 Σの対角成分である特異値で表す
主な用途 次元削減、低ランク近似、ノイズ除去、推薦、潜在意味解析

「行列をU・Σ・Vᵀに分解する」「特異値の大きい成分を残す」ならSVDと判断します。

直感的な説明

ユーザーと商品の評価を並べた、大きな表を考えます。

表の数値は多くても、背後にある傾向は、

  • アクション映画を好む傾向
  • 家族向け作品を好む傾向
  • 人気商品を高く評価する傾向

のような少数のパターンで説明できるかもしれません。

SVDは、大きな表を少数の重要なパターンへ分ける方法です。重要度の低い成分を省けば、元の情報をなるべく残しながら、行列を小さく近似できます。

この考え方が、次元削減や画像圧縮、推薦システムにつながります。

定義・仕組み

SVDでは、元の行列Aを次の3つに分解します。

行列 役割のイメージ
U 行側の特徴を表す左特異ベクトル
Σ 各成分の重要度を表す特異値
Vᵀ 列側の特徴を表す右特異ベクトル

特異値は0以上の値で、通常は大きい順に並べます。大きい特異値ほど、元の行列の主要な構造を多く表します。

打切りSVDと低ランク近似

すべての特異値を使わず、大きいものだけを残す方法を打切りSVD（Truncated SVD）と呼びます。

残す成分 結果
大きい特異値 主要なパターンを残しやすい
小さい特異値を省く ノイズや細かな変動を減らしやすい

少数の成分で元の行列を近似することを、低ランク近似といいます。

PCAとの関係

PCAは、データの分散が大きい方向を主成分として見つける次元削減手法です。中心化したデータ行列にSVDを適用すると、右特異ベクトルから主成分方向を求められます。

用語 中心となる役割 試験でのキーワード
PCA 分散が大きい方向へ射影する 主成分、分散最大化
SVD 行列を3つに分解する 特異値、U・Σ・Vᵀ、低ランク近似
固有値分解 正方行列を固有値と固有ベクトルで分解する 正方行列、固有値

PCAとSVDは関係が深いですが、同じ用語ではありません。PCAは分析の目的、SVDはその計算に利用できる行列分解と整理すると分かりやすいです。

いつ使う？（得意・不得意）

SVDは、行列に隠れた少数の主要パターンを取り出したいときに使います。

  • 画像圧縮・ノイズ除去
  • 推薦システムの行列分解
  • 文書と単語の関係を扱う潜在意味解析（LSA）
  • 次元削減
  • PCAの計算

一方、SVDは線形な行列分解です。複雑な非線形構造の可視化が目的なら、t-SNEやUMAPなど別の手法を検討します。

また、SVD自体は分類器ではありません。ラベル付きデータからクラス境界を学習する手法とは切り分けます。

G検定ひっかけポイント

SVDとPCAは完全に同じ

誤りです。PCAは分散が大きい方向を求める次元削減手法で、SVDは行列分解です。PCAの計算にSVDを利用できます。

SVDは正方行列だけを扱う

誤りです。SVDは長方形の行列にも適用できます。正方行列という条件が強く出る場合は、固有値分解との混同に注意します。

特異値はクラスラベルである

誤りです。特異値は、分解された成分の重要度を表す値です。

小さい特異値ほど重要である

誤りです。一般には、大きい特異値ほど主要な構造を表します。打切りSVDでは、大きい特異値に対応する成分を優先して残します。

選択肢の判断基準

問題文の表現 疑う用語
U・Σ・Vᵀに分解 SVD
特異値の大きい成分を残す 打切りSVD
分散最大化・主成分 PCA
正方行列・固有値 固有値分解
非線形な可視化 t-SNE、UMAP

まとめ（試験直前用）

  • SVDは、行列をU・Σ・Vᵀに分解する
  • 特異値は、各成分の重要度を表す
  • 大きい特異値を残すと、低ランク近似や次元削減ができる
  • PCAの計算に利用できるが、PCAとSVDは同じ用語ではない
  • SVDは長方形の行列も扱える

「行列分解・特異値・重要成分」ならSVDです。

確認問題（G検定対策）

SVDの説明として、最も適切なものはどれか。

  • ア. 正方行列だけを固有値と固有ベクトルに分解する手法である。
  • イ. 行列をU・Σ・Vᵀに分解し、大きい特異値に対応する成分を残して近似できる。
  • ウ. ラベル付きデータから分類境界を学習する手法である。
  • エ. 非線形な近傍関係を二次元へ可視化する手法である。
▶ クリックして答えと解説を見る（ここを開く）

正解：イ

解説

  • ア：固有値分解に近い説明です。SVDは長方形の行列にも適用できます。
  • イ：適切です。特異値の大きい成分を残すことで低ランク近似ができます。
  • ウ：教師あり分類の説明です。
  • エ：t-SNEやUMAPに近い説明です。

判断ポイントは、U・Σ・Vᵀ、特異値、低ランク近似です。

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