G検定トップ ＞ 固有値分解（EVD, Eigenvalue Decomposition）とは？G検定対策

まず結論

• 固有値分解（EVD, Eigenvalue Decomposition）とは、正方行列を固有値と固有ベクトルに分解し、行列の本質的な性質を理解・利用するための線形代数手法。
• G検定ではSVDやPCAとの違い（使える行列の条件・役割）が問われる。

直感的な説明

• 行列を「向きを変える力」と考えると、

  • ある特別な方向（固有ベクトル）では
  • 向きは変わらず、伸び縮み（固有値）だけが起こります。

• 固有値分解は、 👉 行列が本当にやっている“伸ばす方向と強さ”を取り出す方法です。

定義・仕組み

• 固有値分解は、

  • 正方行列 A を
  • 固有ベクトル行列と固有値行列に分解する操作です。

• 成り立つ条件：

  • 正方行列であること
  • （多くの場合）対角化可能であること

• 特徴：

  • 固有値がスケールの大きさ
  • 固有ベクトルが方向を表す

いつ使う？（得意・不得意）

使われる場面（得意）

• 共分散行列の解析
• PCAの理論的理解
• 線形変換の性質解析

注意点・不得意

• 非正方行列には使えない
• 数値計算の安定性でSVDに劣る場合がある
• 非線形構造は扱えない

G検定ひっかけポイント

• よくある誤解：

  • ❌ 任意の行列に適用できる
  • ❌ 非線形次元削減手法

• SVDとの違い：

  • EVD：正方行列のみ
  • SVD：任意形状の行列OK

• 判断基準：

  • 共分散行列 → 固有値分解
  • 元データ行列 → SVD

まとめ（試験直前用）

• 固有値分解＝正方行列を分解
• 固有値＝強さ、固有ベクトル＝方向
• PCA理論の基礎
• 任意行列には使えない
• SVDとの適用条件の違いが重要

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