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title: "SVD（特異値分解）とは？PCA・固有値分解との違い【G検定】"
description: "SVD（特異値分解）は、長方形を含む行列をU・Σ・Vᵀの3つに分解し、特異値の大きい成分から重要な構造を取り出す手法です。打切りSVDによる次元削減、中心化したデータでのPCAとの関係、正方行列を扱う固有値分解との違いをG検定向けに整理します。"
last_modified_at: "2026-07-14"
canonical_url: "https://stemtazoo.github.io/gk/svd/"
section: "gk"
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## まず結論

SVD（Singular Value Decomposition：特異値分解）とは、**行列を3つの行列に分解し、特異値の大きい成分から重要な構造を取り出す手法**です。

```text
A = U Σ Vᵀ
```

G検定では、次の3点を押さえます。

| 判断対象 | SVDのポイント |
|---|---|
| 分解するもの | 正方行列に限らず、長方形の行列も扱える |
| 成分の重要度 | Σの対角成分である特異値で表す |
| 主な用途 | 次元削減、低ランク近似、ノイズ除去、推薦、潜在意味解析 |

**「行列をU・Σ・Vᵀに分解する」「特異値の大きい成分を残す」ならSVD**と判断します。

## 直感的な説明

ユーザーと商品の評価を並べた、大きな表を考えます。

表の数値は多くても、背後にある傾向は、

- アクション映画を好む傾向
- 家族向け作品を好む傾向
- 人気商品を高く評価する傾向

のような少数のパターンで説明できるかもしれません。

SVDは、大きな表を**少数の重要なパターンへ分ける**方法です。重要度の低い成分を省けば、元の情報をなるべく残しながら、行列を小さく近似できます。

この考え方が、次元削減や画像圧縮、推薦システムにつながります。

## 定義・仕組み

SVDでは、元の行列Aを次の3つに分解します。

| 行列 | 役割のイメージ |
|---|---|
| U | 行側の特徴を表す左特異ベクトル |
| Σ | 各成分の重要度を表す特異値 |
| Vᵀ | 列側の特徴を表す右特異ベクトル |

特異値は0以上の値で、通常は大きい順に並べます。大きい特異値ほど、元の行列の主要な構造を多く表します。

### 打切りSVDと低ランク近似

すべての特異値を使わず、大きいものだけを残す方法を**打切りSVD（Truncated SVD）**と呼びます。

| 残す成分 | 結果 |
|---|---|
| 大きい特異値 | 主要なパターンを残しやすい |
| 小さい特異値を省く | ノイズや細かな変動を減らしやすい |

少数の成分で元の行列を近似することを、低ランク近似といいます。

### PCAとの関係

PCAは、データの分散が大きい方向を主成分として見つける次元削減手法です。中心化したデータ行列にSVDを適用すると、右特異ベクトルから主成分方向を求められます。

| 用語 | 中心となる役割 | 試験でのキーワード |
|---|---|---|
| PCA | 分散が大きい方向へ射影する | 主成分、分散最大化 |
| SVD | 行列を3つに分解する | 特異値、U・Σ・Vᵀ、低ランク近似 |
| 固有値分解 | 正方行列を固有値と固有ベクトルで分解する | 正方行列、固有値 |

PCAとSVDは関係が深いですが、同じ用語ではありません。**PCAは分析の目的、SVDはその計算に利用できる行列分解**と整理すると分かりやすいです。

## いつ使う？（得意・不得意）

SVDは、行列に隠れた少数の主要パターンを取り出したいときに使います。

- 画像圧縮・ノイズ除去
- 推薦システムの行列分解
- 文書と単語の関係を扱う潜在意味解析（LSA）
- 次元削減
- PCAの計算

一方、SVDは線形な行列分解です。複雑な非線形構造の可視化が目的なら、t-SNEやUMAPなど別の手法を検討します。

また、SVD自体は分類器ではありません。ラベル付きデータからクラス境界を学習する手法とは切り分けます。

## G検定ひっかけポイント

### SVDとPCAは完全に同じ

誤りです。PCAは分散が大きい方向を求める次元削減手法で、SVDは行列分解です。PCAの計算にSVDを利用できます。

### SVDは正方行列だけを扱う

誤りです。SVDは長方形の行列にも適用できます。正方行列という条件が強く出る場合は、固有値分解との混同に注意します。

### 特異値はクラスラベルである

誤りです。特異値は、分解された成分の重要度を表す値です。

### 小さい特異値ほど重要である

誤りです。一般には、大きい特異値ほど主要な構造を表します。打切りSVDでは、大きい特異値に対応する成分を優先して残します。

### 選択肢の判断基準

| 問題文の表現 | 疑う用語 |
|---|---|
| U・Σ・Vᵀに分解 | SVD |
| 特異値の大きい成分を残す | 打切りSVD |
| 分散最大化・主成分 | PCA |
| 正方行列・固有値 | 固有値分解 |
| 非線形な可視化 | t-SNE、UMAP |

## まとめ（試験直前用）

- SVDは、行列をU・Σ・Vᵀに分解する
- 特異値は、各成分の重要度を表す
- 大きい特異値を残すと、低ランク近似や次元削減ができる
- PCAの計算に利用できるが、PCAとSVDは同じ用語ではない
- SVDは長方形の行列も扱える

**「行列分解・特異値・重要成分」ならSVDです。**

## 確認問題（G検定対策）

SVDの説明として、最も適切なものはどれか。

- ア. 正方行列だけを固有値と固有ベクトルに分解する手法である。
- イ. 行列をU・Σ・Vᵀに分解し、大きい特異値に対応する成分を残して近似できる。
- ウ. ラベル付きデータから分類境界を学習する手法である。
- エ. 非線形な近傍関係を二次元へ可視化する手法である。

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<summary>▶ クリックして答えと解説を見る（ここを開く）</summary>

**正解：イ**

### 解説

- ア：固有値分解に近い説明です。SVDは長方形の行列にも適用できます。
- イ：適切です。特異値の大きい成分を残すことで低ランク近似ができます。
- ウ：教師あり分類の説明です。
- エ：t-SNEやUMAPに近い説明です。

判断ポイントは、**U・Σ・Vᵀ、特異値、低ランク近似**です。

</details>