--- title: "ニュートン法とは？接線で方程式の解に近づく方法【FE試験】" description: "基本情報技術者試験で問われやすいニュートン法について、方程式 f(x)=0 の解の近似値を、接線と微分を使って反復的に求める方法として整理します。微分可能性、初期値は1つ、必ず収束するとは限らない点を押さえ、選択肢を切る判断軸を確認します。" last_modified_at: "2026-07-06" canonical_url: "https://stemtazoo.github.io/fe/newton-method/" section: "fe" --- ## まず結論 ニュートン法とは、方程式 **f(x)=0** の解の近似値を求める方法です。 FE試験では、次のように押さえます。 - **接線を使う** - **微分を使う** - **初期値は1つ** - **必ず収束するとは限らない** 問題文に > y=f(x) の接線を利用する とあれば、ニュートン法を疑います。 --- ## 直感的な説明 方程式 **f(x)=0** の解を求めるとは、グラフでいうと、 > y=f(x) が x軸と交わる場所を探す という意味です。 ニュートン法では、まず「このあたりに解がありそう」という値を1つ決めます。これを **初期値** といいます。 その点でグラフに接線を引きます。 そして、その接線が x軸と交わる場所を、次の候補値にします。 この操作を繰り返して、解に近づけます。 つまり、ニュートン法は > 接線を使って、解に少しずつ近づく方法 です。 --- ## 定義・仕組み ### ニュートン法の考え方 ニュートン法は、非線形方程式の解を近似的に求める反復法です。 流れは次のようになります。 1. 初期値を1つ決める 2. その点で接線を引く 3. 接線と x軸の交点を次の近似値にする 4. これを繰り返す 式で表すと、代表的には次の形になります。 ```text x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) ``` ただし、FE試験では式を完全に暗記するより、 > 接線・微分・反復 の3点を押さえる方が大事です。 --- ### なぜ微分が必要？ ニュートン法では、接線を使います。 接線の傾きは、微分によって求めます。 そのため、関数 f(x) が解の近くで微分できない場合、ニュートン法をそのまま使うのは難しくなります。 FE試験では、 > 微分不可能でもよい という選択肢は切りやすいです。 --- ### 初期値は1つ ニュートン法では、基本的に初期値を1つ与えます。 この初期値を出発点として、次の近似値を計算していきます。 一方で、2つの値や区間を使う方法もあります。 たとえば、二分法や割線法などは、ニュートン法とは考え方が違います。 FE試験では、 > 異なる初期値を二つ与える必要がある とあれば、ニュートン法の説明としては不適切と判断します。 --- ### 必ず収束するとは限らない ニュートン法は便利な方法ですが、どんな初期値でも必ず解に近づくわけではありません。 たとえば、 - 初期値が解から遠すぎる - 接線の傾きが小さい - 微分値が0に近い - 別の解に向かってしまう - 発散してしまう ということがあります。 FE試験では、 > どのような初期値でも必ず解が得られる のような表現は、強すぎるので疑います。 --- ## どんな場面で使う？ ### 方程式の解を近似的に求める場面 ニュートン法は、厳密に解を求めるのが難しい方程式に対して、近似値を求めるときに使われます。 特に、非線形方程式では、計算で一発で答えを出すのが難しいことがあります。 そのようなときに、反復的に解へ近づけます。 --- ### プログラムで数値計算を行う場面 アルゴリズムとして実装する場合、次のような流れになります。 ```text 初期値を決める ↓ f(x) と f'(x) を計算する ↓ 次の近似値を計算する ↓ 十分近づいたら終了する ``` このように、ニュートン法は「繰り返し計算」で近似値を改善していきます。 --- ## よくある誤解・混同 ### ❌ ニュートン法は微分できなくても使える これは誤りです。 ニュートン法は接線を使うため、微分が関係します。 微分できない点では、接線の傾きを求められません。 --- ### ❌ 初期値を二つ与える必要がある これも誤りです。 ニュートン法では、基本的に初期値は1つです。 2つの値を使う方法と混同しないようにします。 --- ### ❌ どんな初期値でも必ず解が得られる これも誤りです。 ニュートン法は、初期値によっては収束しないことがあります。 FE試験では、 > 必ず という表現は注意して読みます。 --- ### ❌ 接線ではなく、単に値を総当たりする ニュートン法は、やみくもに値を試す方法ではありません。 関数の傾き、つまり微分を使って、次の候補を効率よく求めます。 --- ## 確認問題（FE試験対策） 方程式 f(x)=0 の解の近似値を求めるアルゴリズムとして知られているニュートン法に関する記述として、最も適切なものはどれか。 - ア. y=f(x) の接線を利用して解の近似値を求めるものである。 - イ. 関数 f(x) が解の付近で微分不可能であっても、解の近似値を求めることができる。 - ウ. 異なる初期値を二つ与える必要がある。 - エ. どのような初期値を与えても、必ず解の近似値が得られる。
▶ クリックして答えと解説を見る（ここを開く） **正解：ア** ### 解説 - ア：正解です。ニュートン法は、y=f(x) の接線を利用して、方程式 f(x)=0 の解の近似値を求めます。 - イ：不適切です。接線を利用するため、関数が微分可能であることが前提になります。 - ウ：不適切です。ニュートン法では、基本的に初期値は1つです。 - エ：不適切です。初期値によっては、収束しないことがあります。 👉 判断ポイント **ニュートン法 → 接線・微分・初期値1つ・必ず収束ではない** と考えます。
--- ## まとめ（試験直前用） - ニュートン法は、**接線** を使って解の近似値を求める - 接線を使うので、**微分** が関係する - 初期値は基本的に **1つ** - 初期値によっては、**必ず収束するとは限らない** FE試験では、 > 接線を利用する と出たら、ニュートン法を選びます。 逆に、 > 微分不可能でもよい > 初期値を二つ与える > どんな初期値でも必ず得られる のような表現は、ニュートン法の説明としては不適切です。