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title: "行列の固有値とは？意味を直感で整理【DS検定】"
description: "行列の固有値を、変換しても方向が変わらないベクトルの伸び縮みを表す値として整理します。PCAや線形代数との関係、DS検定での直感的理解を確認できます。本文では、用語の定義、具体例、似た概念との違い、試験で迷いやすい選択肢の見分け方まで短時間で復習できます。"
last_modified_at: "2026-05-15"
canonical_url: "https://stemtazoo.github.io/ds/eigenvalue/"
section: "ds"
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## まず結論
固有値は「その行列が、ある特別な向きのベクトルをどれだけ伸ばす／縮めるか」を表す倍率です。
DS検定では「固有値＝何の大きさか？」を、主成分分析や“向きと広がり”の文脈で判断させる問題が出ます。
## 直感的な説明
行列は「空間をどう変形するか」を表すルールです。
例えば、丸いゴム板を引き伸ばすと、だ円になります。
- いちばん伸びる向きがある
- ほとんど伸びない向きもある
その「向き」が固有ベクトル、
その「伸びる倍率」が固有値です。
つまり固有値は、
**変形の強さを表す数**です。
## 定義・仕組み
固有値は、次の状況で出てくる数です。
- 行列をかけても「向きが変わらない」ベクトルがある
- そのとき、大きさだけが倍率で変わる
この倍率が固有値です。
### 2×2行列での求め方（イメージ用）
次の行列を考えます。
$$
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$
固有値 λ は次の式から求めます。
$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$
ここで I は単位行列です。
実際に式を書くと、
$$
(a - \lambda)(d - \lambda) - bc = 0
$$
展開すると、
$$
\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0
$$
これは2次方程式です。
つまり固有値は、
- 対角成分の合計（a+d）
- 行列式（ad-bc）
で決まります。
DS検定では、
この式を暗記するよりも、
「固有値は変形の倍率」
「トレースと行列式で決まる」
と理解しているかが重要です。
### 数値例で直感確認
$$
A =
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$
この行列は、
- x方向を2倍
- y方向を1倍
にします。
固有値は 2 と 1 です。
つまり、
「その方向にどれだけ伸びるか」がそのまま固有値です。
## どんな場面で使う？
### 使う場面
- 主成分分析（PCA）
- 固有ベクトル：主成分の向き
- 固有値：その向きの分散の大きさ
- データのばらつきの方向を理解したいとき
DS検定では
「どの主成分が情報量が大きいか？」と問われることがあります。
その判断基準が固有値です。
### 注意すべき場面
- 固有値が大きい＝常に良い、ではない
目的次第で意味が変わります。
- 計算できるかどうかより、解釈が重要です。
## よくある誤解・混同
DS検定ではここを混同させてきます。
### 固有値と固有ベクトル
- 固有値：倍率
- 固有ベクトル：向き
選択肢で「軸」「方向」と書いてあれば固有ベクトルです。
### 固有値と特異値
- PCA文脈 → 固有値
- SVD文脈 → 特異値
選択肢では「特異値分解」という言葉が出たら注意です。
### 固有値は必ず正？
一般の行列では負になることもあります。
ただし、共分散行列の文脈では負にならない前提で出題されます。
## まとめ（試験直前用）
固有値は「行列がベクトルを伸ばす倍率」。
固有ベクトルは「向きが変わらない方向」。
PCAでは「固有値＝分散の大きさ」。
選択肢で「方向」とあれば固有ベクトル、「どれだけ大きいか」とあれば固有値を疑う。
## 対応スキル項目（データサイエンス力シート）
- 数学的理解
- 線形代数基礎
- ★ 固有ベクトルおよび固有値の意味を理解している